SOAL MATEMATIKA

1
Soal Jawab Mekanika
1.1. (Kecepatan relatif ) Sebuah perahu berlayar di sungai. Dalam
perjalanannya perahu melewati sebuah botol di titik A. Satu jam
kemudian perahu berbalik arah dan berpapasan dengan botol tadi pada
jarak 6 km dari titik A. Kecepatan perahu konstan. Hitung kecepatan
arus sungai!
A
vp
va
Jawab: Pada diagram di atas anggap perahu berbalik di titik C
(abaikan perubahan kecepatan selama berbelok) dan bertemu kembali
C dengan botol di titik B.
va
Anggap kecepatan perahu relatif terhadap arus sungai adalah Vp
dan kecepatan arus sungai terhadap tanah adalah Va. Kecepatan
perahu relatif terhadap tanah (perjalanan A ke C) adalah Vp + Va.
Sedangkan dari C ke B kecepatan perahu relatif terhadap tanah
adalah Vp − Va.
Dari gambar terlihat bahwa:
AC = AB + BC (untuk perahu)
VAC •tAC = AB + VBC •tBC
VAC •tAC = AB + VBC •(tAB(botol) − tAC(perahu))
C
vp
B
(Vp + Va)•1 = 6 + (Vp − Va)( ABVa − tAC)
(Vp + Va) = 6 + (Vp − Va)( 6Va – 1)
Selesaikan persamaan di atas kita akan peroleh: Va = 3,0 km/jam.
Cara cerdik: waktu yang diperlukan perahu dari A ke C adalah 1 jam.
Waktu dari C ke B pasti 1 jam pula. Jadi waktu A-C-B adalah 2 jam.
Waktu ini sama dengan waktu yang diperlukan botol dari A ke B.
Jadi kecepatan arus (kecepatan botol) adalah 6 km/2 jam = 3 km/jam.
(Diskusikan mengapa waktu yang diperlukan dari C ke B itu 1 jam
pula!)
1.2. Sebuah mobil bergerak dari A ke B melewati titik C dan D (titik C
terletak di tengah-tengah A dan B). Dari A ke C mobil bergerak
dengan kecepatan v0. Dari C ke D mobil bergerak dengan kecepatan v1
dalam waktu setengah waktu C ke B. Sisa perjalanan ditempuh dengan
kecepatan v2. Hitung kecepatan rata-rata mobil ini!
Jawab: Kecepatan rata-rata didefinisikan sebagai perpindahan dibagi
waktu tempuh.
V
=
SAB
tAB
Anggap SAB = S, tAC = t1 dan tCB = t2.
Mekanika I
1
S
S
Dari gambar tampak bahwa: t1 =
2
A
C D
B
1
1
SCD + SDB = v1 t2 + v2 t2
v1
v2
2
2
v0
2
v0
atau
t2 =
SCD + SDB
=
1
2 (v1 + v2 )
1
2S
1
2 (v1
+ v2 )
Karena tAB = t1 + t2 maka kecepatan rata-rata mobil ini adalah:
V =
S
+
S
v1 + v2
S
2v0
=
2v0 (v1 + v2 )
v1 + v2 + 2v0
1.3. Sebuah mobil bergerak lurus dipercepat dari keadaan diam dengan
percepatan a = 5 m/s2. Mobil kemudian bergerak dengan kecepatan konstan.
Setelah beberapa saat mobil diperlambat dengan perlambatan a = 5 m/s2
hingga berhenti. Jika kecepatan rata-rata mobil itu 20 m/s dan waktu
total pergerakan adalah 25 detik, hitung berapa lama mobil bergerak
dengan kecepatan tetap?
v
25-2tk
5tk
tk
25 − tk
25
t
Jawab: Cara termudah untuk menyelesaikan soal ini adalah
dengan metode grafik seperti ditunjukan pada gambar.
Anggap mobil mulai melakukan gerak lurus beraturan
(kecepatan konstan) pada waktu tk.
Luas trapesium (lihat gambar) yang menyatakan perpindahan
mobil adalah:
S=
(25 + 25 − 2tk ) 5tk
2
Karena kecepatan rata-rata:
V =
S
ttotal
maka,
20 =
2
125tk − 5tk
25
atau
2
tk − 25tk + 100 = 0
(tk − 20)(tk − 5) = 0
Jadi tk = 5 detik (mengapa tk = 20 detik tidak boleh dipilih?)
Waktu yang dipakai mobil untuk bergerak dengan kecepatan konstan
dalah 25 – 2tk = 15 detik.
2
Mekanika I
1.4. Seekor semut bergerak lurus dengan lintasan sesuai dengan grafik pada
gambar. Dari grafik ini tentukan:
a) kecepatan rata-rata selama gerakan!
b) kecepatan maksimum!
Jawab:
S,m
2
a) Kecepatan rata-rata adalah besarnya perpindahan
dibagi waktu total. Dari grafik tampak bahwa semut
memerlukan waktu 20 detik untuk menempuh jarak
1
B
0
2 meter. Jadi kecepatan rata-ratanya: 2 20 = 0,1 m/s.
b) Kecepatan maksimum diperoleh dengan menghitung
kemiringan maksimum dari grafik ini. Terlihat bahwa
20 t,s
kemiringan (gradien) garis singgung maksimum (garis
A 10
AB) adalah: 1 4 = 0,25 m/s.
1.5. Dua ekor kumbang A dan B bergerak lurus dengan kecepatan tetap v1
dan v2. Vektor posisi kedua partikel ini adalah r1 dan r2. Tentukan
hubungan ke empat vektor ini agar kedua kumbang bertabrakan?
v1
v2
Jawab: Kedua kumbang bertabrakan jika arah vektor satuan
kecepatan relatif dan arah vektor satuan posisi relatif berlawanan
arah (diskusikan mengapa?).
Vektor satuan posisi relatif:
r2 − r1
r2 − r1
r1
= ɵ
r
Vektor satuan kecepatan relatif:
r2
v2 − v1
v2 − v1
ɵ
= v
Arah vektor posisi relatif searah dengan vektor kecepatan relatif
ɵ
ɵ
jika r = - v , jadi:
r2 − r1
v − v1
= - 2
r2 − r1
v2 − v1
1.6. Suatu kapal laut bergerak sepanjang garis khatulistiwa menuju timur
dengan kecepatan vk = 30 km/jam. Angin berhembus pada sudut φ =
120° dengan kecepatan va = 15 km/jam (lihat gambar). Hitung kecepatan
angin vak relatif terhadap kapal dan sudut φ' antara -vk dan vaa!
vak
vangin
Jawab: Kecepatan relatif angin terhadap kapal dinyatakan oleh
persamaan berikut:
v ak = v a − v k
120o
φ'
vk
Vektor v ak digambarkan pada gambar di atas
(perhatikan bahwa va − vk = va + (-vk).
-vk
Mekanika I
3
Besar kecepatan ini adalah:
vak =
2
(va )2 + vk + 2 (va ) vk cos 60
= 39,7 km/jam
A
Untuk menghitung sudut φ' kita gunakan rumus cosinus:
v ka
va
AB2 = AC2 + BC2 − 2ACиBC cos φ'
φ
vk
B
C
2
2
2
va = vak + vk − 2vakvk cos φ'
Masukan nilai-nilai yang diberikan, kita akan peroleh:
cos φ' = 0,945 atau φ' = 19o
1.7. Amir dan Lukas hendak menyebrangi sebuah sungai dari titik A ke
titik B. Amir berusaha berenang pada garis lurus AB. Lukas berenang
selalu tegak lurus arus. Ketika tiba diseberang, Lukas berjalan menuju B.
Berapa kecepatan jalan kaki Lukas jika keduanya tiba di B pada waktu
yang bersamaan? Kecepatan arus 2 km/jam dan kecepatan Amir dan
Lukas terhadap air sama yaitu 2,5 km/jam.
B
A
B
C
Jawab: Amir harus mengarahkan dirinya pada titik C agar ia dapat
berenang sepanjang garis AB.
Karena VAC = 2,5 km/jam dan VCB = 2 km/jam maka VAB = 1,5
km/jam (gunakan rumus Phytagoras).
Waktu dari A ke B adalah:
A
(tAB)Amir =
D
B
AB
AB
=
1, 5
vAB
Lukas pertama mencapai titik D. Dari D ia berjalan kaki ke B.
Waktu dari A ke D adalah:
AD
vAD
AB
=
vLukas
tAD =
A
=
4
Mekanika I
BD
varus
dari persamaan diatas kita peroleh,
BD =
2
varus AB
=
AB
2, 5
vLukas
Waktu yang diperlukan Lukas dari A ke B:
(tAB)Lukas = tAD + tBD
=
AB
vLukas
+
BD
v jalan
2 AB
2,5
AB
=
+
v jalan
2, 5
Karena (tAB)Amir = (tAB)Lukas maka kita peroleh vjalan = 3 km/jam.
1.8. Dua perahu A dan B bergerak ditengah sungai sepanjang 2 garis yang
saling tegak lurus. Perahu A searah dengan arah arus sedangkan perahu
B tegak lurus arus. Kecepatan perahu terhadap air adalah 1,2 kali
kecepatan arus. Setelah menempuh jarak yang sama kedua perahu
kembali ke posisi semula. Hitung perbandingan waktu tempuh kedua
perahu itu!
S
P
vp + va
Jawab: Anggap jarak yang ditempuh S. Perahu
A bergerak dari P ke Q dengan kecepatan vp +
va (kecepatan perahu + kecepatan arus) dan dari
Q ke P dengan kecepatan: vp − va.
Q
vp − va
Jadi waktu yang diperlukan oleh perahu A adalah:
tA =
S
S
+
v p + va
v p − va
Untuk mencapai titik R, perahu B harus diarahkan ketitik T (lihat
gambar). Jadi kecepatan arah PR adalah:
va
T
R
2
2
v p − va
v=
R
Untuk balik dari R ke P perahu harus diarahkan
kearah U. Kecepatan arah RP adalah:
2
2
v p − va
vp
P
2
2
v p − va
v =
vp
Jadi waktu yang diperlukan oleh perahu B pada
lintasan PRP adalah:
va
2S
tB =
U
P
2
2
v p − va
tA
Perbadingan
tB adalah:
2Sv p
tA
= 2
2 :
tB
v p − va
2S
2
2
v p − va
=
Dengan memasukkan vp = 1,2va kita peroleh
vp
2
2
v p − va
tA
tB
= 1,8.
Mekanika I
5
1.9. Sebuah perahu hendak menyebrangi suatu sungai
dengan kecepatan 2 kali kecepatan aliran sungai.
Tentukan pada sudut berapa perahu itu harus diarahkan
agar pengaruh arus dapat dikurangi sebanyak mungkin!
Jawab: Anggap kecepatan arus va dan kecepatan perahu
v p = 2va.
B
va
vp
α
θ
vp cos θ
A
Dari gambar terlihat bahwa pengaruh arus akan seminimum
mungkin jika perahu dapat bergerak dari A ke B tegak lurus arus.
Agar ini dapat terjadi, maka vp cos θ harus sama dengan va.
vp cos θ = va
1
va
=
2
vp
cos θ =
θ = 60o
Jadi perahu harus diarahkan pada sudut α = 180 o − 60 o= 120o
terhadap arah arus.
1.10. Dua batu dilemparkan dari suatu titik. Batu pertama dilemparkan
vertikal sedangkan batu kedua dengan sudut elevasi 60o. Kecepatan mula-
mula kedua batu 25 m/s. Hitung jarak kedua batu itu setelah 1,7 detik!
Jawab: Anggap posisi kedua batu setelah 1,7 detik adalah (x1,y1)
dan (x2,y2).
Dari gambar diperoleh bahwa:
(x1,y1)
∆x = x2 − x1
∆y
∆x
(x2,y2)
∆y = y2 − y1
Jarak kedua titik dapat dicari dengan rumus Phytagoras:
60o
s=
∆x 2 + ∆y 2
Besar x1, y1, x2 dan y2 diperoleh dari rumus berikut:
x1 = 0
x2 = v0 cos 60ot
y1 = v0t − 1 2 gt2
y2 = v0 sin 60ot − 1 2 gt2
Dengan memasukkan data yang diketahui kita peroleh s = 22 m.
1.11. Dua peluru bergerak dalam suatu medan gravitasi. Percepatan gravitasi
g arah vertikal ke bawah. Kedua peluru ditembakkan dengan arah
mendatar saling berlawanan dari satu titik pada ketinggian tertentu.
Kecepatan masing-masing peluru v0A = 3 m/s dan v0B = 4 m/s. Hitung
jarak kedua peluru ketika kedua vektor kecepatannya saling tegak lurus!
6
Mekanika I
Jawab: Pada gerak parabola, komponen kecepatan arah mendatar
selalu konstan. Yang berubah adalah komponen arah vertikal (akibat
gravitasi). Besar sudut antara komponen kecepatan vertikal dan
mendatar untuk peluru A dan B adalah:
vAy
gt
tan θA =
=
vAx
v0A
P
θA
tan θB =
θB
A
B
vBy
vBx
=
gt
v0B
Rumus tangen:
tan(θA + θB) =
tan θA + tan θB
1 − tan θA tan θB
Kedua vektor kecepatan tegak lurus jika θA + θB = 90o.
Dengan menyelesaikan persamaan tangen diatas, kita peroleh;
v 0Av0B
g
Selanjutnya kita hitung jarak kedua peluru:
t=
s = xA + xB = v0At + v0Bt
Dengan memasukkan nilai-nilai yang diberikan, kita peroleh (ambil
g = 10 m/s2) : s = 2,4 m.
B
a)
D
E
θ
A
1.12. Tiga buah titik terletak pada titik sudut suatu segitiga sama sisi yang
panjang sisinya L. Ketiga titik ini bergerak bersamaan dengan kecepatan
konstan v. Arah kecepatan titik pertama menuju titik kedua, titik
kedua menuju titik ketiga dan titik ketiga menuju titik pertama. Kapan
ketiga titik ini bertemu?
O
L
Jawab: Coba Anda pikirkan bahwa ketiga titik ini akan bertemu di
titik berat segitiga (titik O). Lintasan titik berbentuk kurva. Untuk
menghitung waktu yang ditempuh titik kita cukup menghitung jarak
AO lalu membaginya dengan komponen kecepatan arah AO.
C (Perhatikan bahwa komponen kecepatan arah AO selalu sama di
setiap titik lintasan)
Jarak AO:
b)
2
L
AO = AD =
3
3
θ v
v cos θ
3
Kecepatan arah AO:
vAO = v cos θ = 1 2
Jadi t = AO vAO = 2L 3v .
3V
c)
vc
os
θ v
Mekanika I
7
1.13. Sebuah lift yang tingginya 3 meter bergerak ke atas dengan percepatan
2 m/s2. Setelah bergerak 3 detik. Sebuah baut jatuh dari langit-langit lift.
Hitung:
a) waktu yang diperlukan baut untuk mencapai lantai lift,
b) perpindahan baut selama jatuh,
c) jarak yang ditempuh baut.
Ambil g = 10 m/s2.
Jawab:
a) Ketika lift diam, orang yang berdiri di lantai lift akan melihat
baut jatuh bebas dengan percepatan a = 10 m/s2. Tetapi ketika
lift dipercepat ke atas dengan 2 m/s2, orang akan melihat baut
lebih cepat menyentuh lantai lift. Dengan kata lain percepatan
baut menjadi: a' = 10 + 2 = 12 m/s2.
Karena tinggi lift h = 3 meter maka dengan menggunakan rumus
h2
h1
y
h = 1 2 a't2 kita akan peroleh t = 0,71 detik.
b) Perpindahan baut diukur oleh orang yang di luar lift. Menurut
orang ini, gerakan baut adalah seperti gerakan benda yang
dilemparkan ke atas dengan kecepatan awal sama dengan
kecepatan lift setelah 3 detik, v0 = at’ = 2(3) = 6 m/s. Perpindahan
dapat dicari dengan rumus:
y = v0t − 1 2 gt2
Dengan memasukkan t = 0,707 detik kita peroleh perpindahan
baut sebesar: y = 1,74 m.
c) Untuk menghitung jarak yang ditempuh baut (h1 + h2) kita perlu
menghitung dulu titik tertinggi yang dicapai oleh baut.
v = v0 − gt
0 = 6 – 10t
t = 0,6 detik
h 1 = v0t – 1 2 gt2
= 6(0,6) – 5(0,62)
= 1,8 m (tinggi maksimum)
h 2 = h1 – y = 0,06 m
Jadi jarak yang ditempuh baut adalah: 1,8 + 0,06 = 1,86 m.
1.14. Suatu titik bergerak sepanjang sumbu x dengan kecepatan seperti yang
digambarkan pada gambar di bawah. Gambarkan S(t) dan a(t)! Satuan
dalam SI (sistem MKS).
Jawab: Dari gambar diperoleh data sebagai berikut:
v
0-1 detik: a = +1 m/s2 (dipercepat)
0
-2
1-3 detik: a = 0
1
8
3
8
t
Mekanika I
3-4 detik: a = -1 m/s2 (diperlambat)
4-6 detik: a = -1 m/s2 (dipercepat)
6-7 detik: a = +2 m/s2 (diperlambat)
7-8 detik: a = 0
"Tambah lama 1
Tambah asyiik
belajar fisika euuiiy...." 0
a
0
S
1
4
2
4
8
t
5
0 1
t
Untuk menggambar S(t) kita harus perhatikan lengkung kurva
(tergantung dari tanda percepatannya).
1.15. Sebuah titik melintasi setengah lingkaran berjari-jari 2 m selama 10
detik dengan laju konstan. Hitung besar kecepatan rata-rata titik ini.
Berapa laju titik ini? Berapa besar percepatan rata-rata titik ini?
Jawab: Mula-mula titik berada di A dan posisi akhirnya di B.
Perpindahan titik adalah 2R (jarak yang ditempuh titik adalah πR).
Jadi kecepatan rata-rata titik adalah:
B
A
2R
2⋅2
=
= 0,4 m/s
t
10
Kecepatan rata-rata ini arahnya mendatar. (Mengapa?)
Laju titik ini:
πR
2
v =
=
π = 0,63 m/s
t
10
Percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan dibagi waktu.
Mula-mula kecepatan arah ke atas (titik A) dan setelah itu arah ke
bawah (titik B), nilai perubahan kecepatan adalah 2v. Jadi nilai
(v ) =
percepatan rata-ratanya 2v t = 0,126 m/s2.
1.16. Sebuah benda dilontarkan dari permukaan bumi dengan sudut elevasi
θ dan dengan kecepatan awal v0. Abaikan hambatan udara, hitung:
a) waktu agar benda sampai ke permukaan bumi lagi!
b) tinggi maksimum dan jangkauan mendatar! Pada sudut berapa
kedua besaran ini sama besar?
c) y(x)!
d) jari-jari kelengkungan kurva di titik awal dan titik puncak!
Jawab:
a) Anggap waktu dari A ke B adalah t1.
θ
A
B
2
yB = yA + v0y sin θ t1 − 1 2 g t1
R = v0xиt1
Mekanika I
9
Masukkan nilai yA = 0 dan yB = 0, kita akan peroleh:
t1 =
2v0 sin θ
g
b) Jangkauan AB dihitung dengan:
xAB = v0xиt1 =
=
2v02 sin θ cos θ
g
v02 sin 2θ
g
Waktu untuk mencapai tinggi maksimum adalah:
t2 = 1 2 t1 =
(v0 sin θ )
g
Tinggi maksimum:
2
ymaks = v0yиt2 – 1 2 g t2
=
(v02 sin2 θ )
2g
Tinggi maksimum akan sama dengan jangkauan AB pada tan θ = 4
(gunakan ymaks = xAB).
c) x = v0xиt atau t =
x
(v0 cos θ )
. Substitusi nilai t ini pada rumus
y = v0yиt – 1 2 gt2, untuk memperoleh,
y = x tan θ −
v0
gx 2
2v02 cos2 θ
d) Jari-jari kelengkungan di titik awal dapat dihitung dengan rumus
a = v2/R1
Fs = mg cos θ
θ
atau
θ
R1
F(sentripetal)
v02
=
g cos θ
Jari-jari kurva di titik tertinggi:
vx
mg =
atau
mg
10
Mekanika I
R2 =
2
mvx
R2
2
v0 cos2 θ
g
1.17. Viskositas η suatu gas tergantung pada massa, diameter efektif dan
kecepatan rata-rata molekul. Gunakan analisa dimensi untuk
menentukan rumus η sebagai fungsi variabel-variabel ini!
Jawab: Anggap bahwa: η = kmαdβvγ
dimana k, α, β, dan γ merupakan konstanta tanpa dimensi, m massa
berdimensi M, d diameter berdimensi L dan v kecepatan rata-rata
molekul berdimensi LT-1.
Karena dimensi viskositas adalah ML-1T-1 maka:
ML-1T-1 = MαLβ(LT-1)γ
Dengan menyamakan pangkat pada tiap dimensi, kita peroleh:
α = 1; β = -2; γ = 1
Sehingga kita akan peroleh:
η=k
( mv )
d
2
1.18. Gunakan metode dimensi untuk memperoleh rumus gaya angkat pesawat
per satuan panjang rentangan sayap pesawat. Pesawat bergerak dengan
kecepatan v melalui udara dengan kerapatan ρ. Nyatakan rumusnya
dalam l,v dan ρ (l adalah lebar sayap)!
Jawab: Anggap gaya per satuan panjang rentangan adalah F.
F = klαvβργ
Karena dimensi gaya MLT-2, maka dimensi gaya persatuan panjang
adalah: MT–2. Jadi:
MT-2 = Lα(LT-1)β(ML-3)γ
Dengan menyamakan pangkat pada tiap besaran, kita peroleh:
γ = 1
β = 2
α + β − 3γ = 0 atau α = 1
Sehingga rumus gaya angkat per satuan panjang adalah:
F = klv2ρ
1.19. Tentukan rumus kecepatan bunyi jika kecepatan ini tergantung pada
tekanan P dan massa jenis udara ρ!
Jawab: Gunakan metode seperti soal 1.18. Silahkan buktikan bahwa :
P
v = k 
ρ
 
1
2
"Berlatihlah..
Sukses
menantimu...."
Mekanika I
11
1.20. Perioda suatu bandul tergantung pada panjang tali dan percepatan
gravitasi. Tentukan rumus perioda bandul ini!
Jawab: Silahkan buktikan bahwa :
1
l 2
T = k 
g 
 
(l = panjang tali; g = percepatan gravitasi)
1.21. Sebuah mobil dipercepat dari keadaan diam dengan percepatan α.
Setelah itu mobil diperlambat dengan perlambatan β hingga berhenti.
Total waktu yang dibutuhkan adalah t detik. Berapa jarak yang ditempuh
mobil ini?
Jawab: Anggap waktu selama mobil dipercepat hingga mencapai
kecepatan v adalah t1 dan selama diperlambat t2.
Pertama buktikan bahwa
v
t1 = v α ; t2 = β
dan
t = t1 + t2
Misalkan jarak yang ditempuh selama dipercepat s1 dan selama
diperlambat s2. Silahkan buktikan bahwa,
2
2
s1 = v 2α ; s2 = v 2 β
dan
s = s1 + s2
Dari persamaan-persamaan ini kita peroleh:
αβ
s = 1 2 t2
(α + β )
1.22. Sebuah batu dijatuhkan dari ketinggian h. Setelah t detik batu kedua
dijatuhkan kebawah dengan kecepatan u. Apa kondisi agar kedua batu
mencapai tanah bersama-sama?
1
 2h  2
Jawab: Batu pertama akan mencapai tanah setelah waktu: t1 =   .
 g 
Waktu yang diperlukan agar batu kedua bersamaan jatuh ke tanah :
t2 = t1 – t
2
Gunakan rumus h = ut2 + 1 2 g t2 kita akan peroleh:
h=
gt 2  2u − gt 2
8  u − gt 


Jadi kondisi agar dua batu tiba bersama-sama adalah:
8h(u − gt)2 = gt2(2u − gt)2
12
Mekanika I
1.23. Dua benda sedang bergerak dengan kecepatan v1 dan v2. Ketika mereka
saling berhadapan jarak mereka bertambah dekat 4 meter tiap detik.
Ketika mereka bergerak searah jarak mereka bertambah dekat 4 meter
tiap 10 detik. Hitung v1 dan v2!
Jawab:
v1 + v2 = 4
v1 – v2 = 0,4
Dari sini kita peroleh: v1 = 2,2 m/s dan v2 = 1,8 m/s.
1.24. Ketika hari hujan, air hujan turun vertikal dengan kecepatan 30 m/s.
Kemudian angin bertiup dengan kecepatan 10 m/s dari timur ke barat.
Ke arah mana seseorang harus mengarahkan payungnya agar tidak
kehujanan?
Jawab: Payung harus diarahkan sesuai dengan arah jatuh air. Silahkan
buktikan.
tan θ = 1 3
θ = sudut air hujan dengan vertikal.
1.25. Dua kapal laut terpisah pada jarak 20 km pada garis selatan utara.
Kapal yang lebih utara bergerak ke Barat dengan kecepatan 30 km/jam.
Kapal lain bergerak ke Utara dengan kecepatan 30 km/jam. Berapa
jarak terdekat kedua kapal itu? Berapa lama waktu yang diperlukan
untuk mencapai jarak terdekat ini?
Jawab:
A
A
va
BC yaitu 10 2 m.
C
vb
B
Gambar kiri adalah keadaan sebenarnya. Sedangkan gambar kanan
kita anggap B diam dan A bergerak relatif terhadap B. Dapat kita
buktikan bahwa ∠CAB = 45o sehingga jarak terdekat adalah jarak
B
Kecepatan relatif A terhadap B adalah 30 2 km/jam (silahkan
buktikan) sehingga waktu yang diperlukan adalah t = s v = 20 menit
(silahkan buktikan!).
1.26. Sebuah kereta bergerak dengan kecepatan konstan 60 km/jam. Mula-mula
ia bergerak ke timur selama 40 menit kemudian pada arah 45o selama
20 menit dan akhirnya ke barat selama 50 menit. Berapa kecepatan
rata-rata kereta ini?
Kecepatan rata-rata = perpindahan waktu .
Perpindahan arah x:
s x = 40 + 10 2 – 50 km
Mekanika I
13
Perpindahan arah y:
Sy = 10 2 km
S =
2
2
S x + Sy
t = 40 + 20 + 50 = 110 menit
Dari sini kita peroleh v ≈ 8 km/jam.
1.27. Sebuah senapan diarahkan pada sudut 45o terhadap horizontal ke
sebuah mobil yang sedang bergerak dengan kecepatan 72 km/jam
menjauhinya. Saat itu mobil berjarak 500 m. Hitung jarak mobil dari
senapan ketika peluru mengenai mobil itu! Hitung juga kecepatan peluru!
g = 9,8 m/s2.
Jawab:
Mula-mula mobil berada di B.
Waktu dari A ke C: t =
B
A
C
2
v
g
2
Jarak AC = v g (silahkan buktikan!).
Karena AC = AB + BC, maka:
v2
2v
= 500 + 20
g
g
Dari sini kita akan peroleh v = 85,6 m/s dan AC = 747 m.
1.28. Dua peluru dengan jangkauan R membutuhkan waktu t1 dan t2 untuk
mencapai ketinggian semula. Buktikan bahwa t1t2 = 2R/g!
Jawab:
R = v cos θt atau cos θ = R vt
t =
R
( 2v sin θ )
g
atau sin θ = gt 2v
Gunakan rumus cos2 θ + sin2 θ = 1, kita akan peroleh;
g2t4 − 4v2t2 + 4R2 = 0
selesaikan persamaan ini untuk memperoleh t1 dan t2. Setelah itu
dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa t1t2 = 2R g .
1.29. Dari suatu titik pada ketinggian h peluru diarahkan dengan kecepatan
u dengan sudut elevasi a. Peluru lain B diarahkan dari tempat yang
sama dengan kecepatan u tetapi arahnya ke bawah berlawanan dengan A.
Buktikan bahwa jarak kedua peluru ketika mengenai tanah adalah:
14
Mekanika I
U
α
P
U
Q
R=
O
B
C
2u cos α u 2 sin 2 α + 2gh
g
A
Jawab:
Untuk menyelesaikan soal ini anda bisa gunakan berbagai cara.
Gunakan kreativitas anda untuk menyelesaikan soal menarik ini.
Salah satu cara adalah Anda menghitung dulu jarak PQ kemudian
jarak CA dan BO.
Dari sini kita akan dapatkan hasil yang diminta (silahkan coba, ini
tidak sukar kok...!).
1.30. Hitung percepatan yang timbul pada sistem dalam gambar! Anggap
katrol licin. Hitung tegangan tali antara benda 1 dan benda 2! Koefisien
gesekan antara permukaan benda adalah μ.
T1
Jawab:
m0 g − T1 = m 0a
a
a
m0g
m2
m1
T 1 − T 2 − μm 1g = m 1 a
T2
T1
f
m0
a
T 2 − μm2 g = m 2a
T2
f
Ketiga persamaan di atas dapat diselesaikan untuk mendapatkan:
a =
T2 =
2
m0g − μ (m1 + m2 ) g
m0 + m1 + m2
(1 + μ ) m0m2g
m0 + m1 + m2
1.31. Dua balok 1 dan 2 diletakkan pada bidang miring dengan sudut miring α.
Massa balok masing-masing m1 dan m2. Koefisien gesekan antara
bidang miring dan balok masing-masing μ1 dan μ2. Hitung gaya kontak
dan sudut minimum bidang miring dimana balok mulai bergerak!
1
α
Mekanika I
15
Jawab:
a) Koefisien gesek balok 1 harus lebih besar atau sama dengan balok
2 (mengapa?).
F
m1g sin α + F − μ1m1g cos α = m1a
f
m1g sin α
m2g sin α − F − μ2m2g cos α = m2a
f
m2g sin α
F
Dari kedua persamaan diatas kita peroleh:
F =
( μ1 − μ2 ) m1m2g
cosα
m1 + m2
b) Sudut minimum bidang miring adalah sudut terkecil dimana sistem
akan bergerak. Dari gambar berikut, kita peroleh:
m1g sin α + m2g sin α − μ1m1g cos α − μ2m2g cos α = (m1+m2)•a = 0
Dari persamaan diatas kita peroleh:
tan α =
μ1m1 + μ2m2
m1 + m2
1.32. Pada sistem di bawah ini tentukan perbandingan m2/m1 ketika:
a) benda m2 mulai bergerak ke bawah
b) benda m2 mulai bergerak ke atas
c) benda m2 diam
Abaikan massa katrol dan tali. Koefisien gesekan antara dua permukaan
m dan sudut bidang miring α.
Jawab:
m1
m2
a) Pada saat benda m 2 bergerak ke bawah, maka
gesekan pada m1 kebawah (arah gaya gesek selalu
berlawanan arah gerak).
T − μm 1 g cos α − m 1 g sin α > 0
m2 g − T > 0
Selesaikan kedua persamaan di atas kita peroleh:
T
T
1
2
f
16
Mekanika I
m2
> μ cos α + sin α
m1
b) Pada kasus ini gaya gesek pada m1 mengarah ke atas.
-T − μm 1g cos α + m 1g sin α > 0
1
2
μm1g cos α
T − m2g > 0
Selesaikan kedua persamaan di atas kita peroleh:
m2
< - μ cos α + sin α
m1
c) Untuk kasus ini kita gabungkan kasus 1 dan kasus 2, hasilnya adalah:
sin α − μ cos α ≤
m1
≤ sin α + μ cos α
m2
1.33. Pada soal sebelumnya anggap m1 = 1,5 m2. Hitung percepatan sistem!
Koefisien gesekan 0,1 dan α = 30o.
T
T
m2g − T = m2a
Jawab: Dengan data-data yang diberikan, kita harus cek dulu apakah
benda m2 bergerak ke bawah atau ke atas.
Silahkan Anda buktikan bahwa m2 bergerak ke bawah (kasus a pada
soal sebelumnya).
T − μm 1g cos α − m 1g sin α = m 1 a
m 2g − T = m 2a
Selesaikan kedua persamaan diatas, kita akan peroleh:
a =
(m2 − m1 sin α − μm1 cos α ) g
m1 + m2
Dengan memasukkan nilai-nilai yang diberikan, kita peroleh bahwa a ≈ 0,05g.
1.34. Benda 1 bermassa m1 diletakkan diatas benda 2 yang bermassa m2.
Benda 2 ditarik oleh gaya F = bt (gaya ini semakin lama semakin
besar dengan berjalannya waktu t). Hitung percepatan masing-masing
benda sebagai fungsi waktu jika koefisien gesekan antara kedua benda
adalah μ! Gambarkan hasil yang diperoleh ini! Lantai licin.
Jawab: Mula-mula (ketika t kecil), gaya F kecil
sehingga kedua benda akan bergerak bersamaan.
Ketika t > t0 gaya F sudah sangat besar sehingga
percepatan benda 2 akan lebih besar dari benda 1.
2
1
1 dan 2
bergerak
bersama
0
2 bergerak
lebih cepat
t0
Mekanika I
17
• t < t0 (a1 = a2 = a)
F = (m1 + m2)a
a=
bt
F
=
m1 + m2
m1 + m2
• t > ta (a1 ≠ a2)
bt − μm2g = m2a2
μm2g = m1a1
1
2
f
f
a1 =
μ m2 g
m1
a2 =
bt − μm2g
m2
Grafik percepatan sebagai fungsi waktu:
a
a2
a1
0
t0
t
1.35. Suatu benda bermassa m terletak di bidang miring dengan sudut miring α.
Benda ini ditarik oleh benang dengan tegangan T yang membentuk
sudut β dengan permukaan bidang miring. Hitung β agar tegangan T
minimum!
T
β
Jawab: Tegangan T minimum ketika benda diam.
Persamaan gerak:
Arah tegak lurus bidang miring:
N = mg cos α − T sin β
Arah sejajar bidang miring:
α
mg sin α = T cos β − μN
atau
T =
18
Mekanika I
mg ( sin α + μ cos α )
cos β + μ sin β
Anggap μ = tan θ. Sehingga persamaan di atas boleh ditulis:
T =
mg ( sin α + μ cos α ) cos θ
cos ( β − θ )
T akan minimum jika cos (β − θ) = 1 atau β = θ. Sesuai dengan
anggapan kita μ = tan θ = tan β.
Masukkan nilai tangen ini pada persamaan T, kita akan peroleh;
T=
mg ( sin α + μ cos α )
1 + μ2
1.36. Suatu balok dan motor listrik terletak pada
bidang datar kasar (koefisien gesekan μ). Seutas
tali diikat pada balok dan dililitkan pada poros
motor listrik. Mula-mula jarak antara balok dan
motor listrik adalah L. Ketika motor dihidupkan, balok mulai bergerak
dengan percepatan konstan a. Kapan kedua benda akan bertabrakan
(mbalok = 2mmotor)?
Jawab: a1 = a
T − μm1g = m1a
Percepatan relatif kedua balok adalah:
ar = a1 + a2
T
T
f
f
T − μm2g = m2a
Boleh dibayangkan bahwa kedua benda saling
mendekat dengan percepatan a r. Waktu yang
diperlukan untuk kedua benda bertemu dihitung
dengan rumus: S = 1 2 art2.
Karena m1 = 2m2 maka:
t=
2S
=
ar
2L
μg + 3a
1.37. Sebuah katrol tergantung pada langit-langit suatu lift.
Pada katrol itu terdapat beban m1 dan m2. Jika lift
bergerak naik dengan percepatan ao dan abaikan massa
katrol dan tali, hitung percepatan m1 relatif terhadap
tanah dan relatif terhadap lantai lift!
1
2
Jawab:
T
T − m1g = m1a1
m1g
Mekanika I
19
T
m2 g − T = m2 a 2
Perhatikan bahwa a1 dan a2 diukur dalam kerangka inersial (dalam
hal ini adalah tanah).
m2g
Jika percepatan benda 1 dan 2 relatif terhadap katrol adalah a dan
percepatan lift adalah a0 maka,
a1 = a + a0
a2 = a – a0
Dari kedua persamaan ini kita peroleh:
a=
(m2 − m1 ) (g + a 0 )
m1 + m 2
Percepatan m 1 relatif terhadap tanah diperoleh dengan
mensubstitusikan a pada persamaan berikut:
a1 = a + a0
a1 =
(m2 − m1 ) g + 2m1a 0
m1 + m2
1.38. Tentukan percepatan benda 2 pada susunan
berikut! Anggap massa benda 2 adalah η kali
massa benda 1 dan sudut bidang miring sama
dengan α. Abaikan massa katrol dan tali, serta
gesekan.
1
α
2
Jawab:
T1
m1g sin α
T1 − m1g sin α = m1a1
T2
m2g − T2 = m2a2
m 2g
Karena katrol tidak bermassa maka, T1 = 2T2.
Ketika benda 1 bergerak L benda 2 telah bergerak 2L, jadi: a2 = 2a1.
m
Dengan menggunakan 2 m1 = η dan selesaikan persamaan diatas
kita akan peroleh:
a2 =
20
Mekanika I
2 ( 2η − sin α ) g
4η + 1